К касательной EF окружности с центром в точке О из концов диаметра MN проведены два перпендикулярных отрезка ME и NF. Докажите, что точка касания Р делит отрезок EF пополам.

Решение:
1) MO=NO как радиусы окружности. 2) радиус окружности, проведенный в точку Касания перпендикулярен касательной, поэтому отрезок OP перпендикулярен прямой EF. 3) Прямые перпендикулярные одной и тойже прямой параллельны, поэтому прямые ME, PO, NF параллельны. 4) По теореме Фалеса PE=FP. ч.т.д.