Окружность проходит через середину гипотенузы AB и катета BC прямоугольного треугольника ABC и касается катета AC. В каком отношении точка касания делит АС??

Решение:
Введем систему координат: C(0,0), B(0,a), A(b,0), AC=b, BC=a. Середина гипотенузы имеет координаты D(b/2;a/2), середина BC - E(0,a/2). Середина DE - F(b/4,a/2). Центр окружности лежит на прямой, проходящей через F, и перпендикулярной DE. Так как Рассмотрим радиус окружности, который касается AC. Он перпендикулярен AC, но он будет перпендикулярен и DE, значит, точка касания лежит на прямой, проходящей через F перпедикулярно DE, и находится в точке пересечения этой прямой с AC. Координаты этой точки G(b/4;0), значит, точка касания делит катет в отношении 1:3.