Точка S удалена от каждой из сторон правильного треугольника ABC на корень из 39 см. Найдите угол между прямой SA и плоскостью ABC, если AB=6см.

Решение:
Опустим  перпендикуляр из на плоскость АВС. Он в правильном треугольнике при равноудалённой S  в центр вписанной и описанной окружности О. Проведём апофему SД из точки S на сторону АС до пересечения в точке Д. По формуле r=корень из3*а/6=корень из3*6/6=корень из 3(радиус вписанной окружности= ДО). Тогда высота SО=корень из(SДквадрат-ДОквадрат)=корень из(39-3)=6.  По формуле R=корень из3*а/3=корень из3*6/3=2корня из 3(радиус описанной окружности). R=АО.  Тангенс искомого угла SАД=tgX=SО/АО=6/ 2 корня из3=корень из 3. Следовательно угол=60.