Из вершины прямого угла А треугольника АВС восстановлен перпендикуляр АД к плоскости треугольника. Найдите косинус угла ф между векторами ВС и ВД, если угол АВД равен а, а угол АВС равен в.

Решение:
Из прям. тр-в АВС и АВD выражаем необходимые стороны через сторону АВ: AD = AB*tga;  AC = AB*tgb; BD = AB/cosa; BC = AB/cosb Из прям. тр-ка ADC выражаем DC по теореме Пифагора: $$ DC^2=AD^2+AC^2=AB^2(tg^2a+tg^2b). $$ Теперь применим теорему косинусов к тр-ку BDC: $$ DC^2=BD^2+BC^2-2BD*BC*cosf $$ Отсюда выражаем искомый косинус ф (в редакторе под латинской буквой f): $$ cosf=\frac{\frac{1}{cos^2a}+\frac{1}{cos^2b}-(tg^2a+tg^2b)}{2}*cosacosb= $$ $$ =\frac{cos^2a+cos^2b-sin^2acos^2b-sin^2bcos^2a}{2cosacosb}=\frac{2cos^2acos^2b}{2cosacosb}=\ cosacosb. $$ Ответ: cosф = cosa*cosb.