Квадрат со стороной а срезали по углам так, что получился правильный восьмиугольник. Найдите сторону восьмиугольника.

У правильного восьмиугольника все стороны равны, обозначим его сторону через х. Чтобы его получить из квадрата, нужно отрезать углы квадрата под углом 45 градусов к его стороне. Следовательно, х - это гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника, находим катет (обозначим его через k для удобства):
\( k^2+k^2=x^2\\2k^2=x^2\\k^2=\frac{x^2}{2}\\k=\frac{x}{\sqrt{2}} \)
Два таких катета плюс сторона восьмиугольника составят вместе сторону квадрата:
\( \frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{x}{\sqrt{2}}+x=a\\\frac{2x}{\sqrt{2}}+x=a\\2x+x*\sqrt{2}=a*\sqrt{2}\\x*(2+\sqrt{2})=a*\sqrt{2}\\x=\frac{a*\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} \)