Существует ли многоугольник у которого 2015
диагоналей? Если да, то сколько в нем ВЕРШИН?

Формула для диагоналей многоугольника 
d=n(n-3):2
Из каждой вершины исходит диагональ к остальным, кроме самой себя и двух соседних ( с ними она соединена сторонами многоугольника). Но каждая диагональ соединяет две вершины и поэтому посчитана дважды.  Поэтому делим на 2 
n(n-3):2=2015
n²-3n=4030
n²-3n-4030=0
 Решив квадратное уравнение, найдем два корня:
х₁=65
х₂= -62 и не подходит ( диагоналей не может быть отрицательное количество). 
Ответ. 65 вершин.