1. Длина медианы CM треугольника АВС равна 5 см. Окружность с диаметром СМ пересекает стороны АС и BC в их серединах. Найдите периметр треугольника АВС, если его площадь равна 24см2.

Решение:
Пусть К - середина АС, Р - середина ВС. Ясно, что КР - стредняя линяя, то есть она поделит и медиану СМ пополам, то есть хорда проходит через центр окружности. Поэтому СМ и КР - диаметры окружности, и угол ВСА прямой. Итак, в прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ = 2*СМ = 10; площадь S = 24; надо найти периметр. Пусть а и b - катеты; a^2 + b^2 = 10^2; a*b = 48; Куча способов решения, например такой
(a + b)^2 = 196; (a - b)^2 = 4; a + b = 14; a - b = 2; ответ a = 6; b = 8; периметри 6 + 8 + 10 = 24