Дан треугольник ABC, в котором K принадлежит AB, AK:KB=3:2; L принадлежит BC, BL:LC=1:3; AL пересекает CK в точке T, (BT) пересекает (AC) в точке M. Найдите:
а) AT:TL
б)BT:BM

Решение:
Проведём LD параллельно CK. Применим теорему про пропорциональные отрезки: KD:DB=CL:LB=1:3; AK:KD=AK:(BK:4)=6:1; AT:TL=AK:KD=6:1 Проведём LE параллельно BM. Тогда из той же теоремы: ME:EC=3:1; AM:ME=6:1(из уже доказанного соотношения); а отсюда: AM:MC=18:4=9:2. В принципе, это соотношение можно получить и из теоремы Чевы. Проведём MF параллельно CK. BT:TM=BK:KF=2:(3*2/9)=3:1. Узнаём нужное, прибавив к TM BT: BT:BM=BT:(TM+BT)=3:(3+1)=3:4. Ответ: а) 6:1; б) 3:4.