Найдите длину стороны правильного треугольника, если он равновелик правильному шестиугольнику со стороной a

Треугольник и шестиугольник правильные и равновелики. Значит, равны их площади.

Пусть \( S_3,\ a_3 \) -площадь и сторона правильного треугольника,

\( S_6,\ a_6 \)- площадь и сторона правильного шестиугольника.

Имеют место формулы:

\( S_3=\frac{(a_3)^2\sqrt3}{4},\ S_6=\frac{(a_6)^2*3\sqrt3}{2} \)

Тогда \( \frac{(a_3)^2\sqrt3}{4}=\frac{(a_6)^2*3\sqrt3}{2} \) 

\( \frac{(a_3)^2}{2}=3(a_6)^2 \) 

\( \frac{(a_3)^2}{6}=(a_6)^2 \) 

\( a_6=\sqrt{\frac{(a_3)^2}{6}}=\frac{(a_3)\sqrt6}{6}=\frac{a\sqrt6}{6} \)

Ответ: \( \frac{a\sqrt6}{6} \)