На медиане ВМ треугольника АВС взята точка D. Через нее проведена прямая, параллельная стороне АВ, а через точку С проведена прямая, параллельная медиане ВМ. Две проведённые прямые пересекаются в точке Е. Докажите, что ВЕ = АD

Решение:
Продолжим АВ и СЕ до пересечения в точке К. Тогда АВ = ВК  по теореме Фалеса (АМ = МС, ВМ||СК). ВКЕD - параллелограмм, так как его стороны попарно параллельны. Значит DЕ = ВК  и  следовательно DЕ = АВ. АВЕD - тоже параллелограмм, по признаку параллелограмма: АВ = DЕ, АВ||DЕ. Значит  АD = ВЕ  ч.т.д.

1. Продолжим прямые АВ и СЕ. К - точка пересечения АВ и СЕ. 2. АВ = ВК - (по теореме Фалеса) 3. Рассмотрим четырехуг. ВКЕD ВК || ED, BD || KE ⇒ BKED - параллелограм. Отсюда, DЕ = ВК ⇒ DЕ = АВ. 4. Рассмотрим четырехуг. АВЕD. AB||DE, DE = AB ⇒ ABED - параллелограм. 5. Так как у параллелограма противоположные стороны равны, имеем ВЕ = АD, что и требовалось доказать.