1. Площадь треугольника ABC равна S. На стороне AC отмечена точка М так, что АМ: МС=1:2. На прямой ВМ отмечена точка Т так, что В - середина отрезка ТМ. Найдите площадь треугольника ВСТ.
2. Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а высота, опущенная на основание, - 8 см. Найдите высоту, опущенную на боковую сторону.
3. Сторона треугольника, противолежащая углу 60* равна 5 корень из 6 см, а наименьший угол треугольника равен 45*. Найдите наименьшую сторону треугольника.

Решение:
1. 1. Рассмотрим ΔМСТ. Так как В-середина МТ, ВС является медианой ΔМСТ. 2. Медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника, т.е., с одинаковой площадью. SΔBCT = SΔMBC 3. Так как МС равна 2/3 АС, SΔМВС = 2/3 SΔАВС. Значит, SΔBCN = 2/3 SΔABC = 2/3S. Ответ. 2/3 S.
2.  1. Обозначим боковые стороны а и b, основание - с, высоту, опущенную на основание, - h₁. А высоту, опущенную на боковую сторону, которую нужно найти, обозначим h₂. Находим боковую сторону по теореме Пифагора. $$ a=\sqrt{h^2+(\frac{c}{2})^2} = \sqrt{64+36} = 10 $$ (см). 2. S=½ ah ch₁ = ah₂ $$ h_2 = \frac{ch_1}{a} = \frac{12 \cdot 8}{10} = 9,6 $$ (см) Ответ. 9,6 см.
3.  Наименьшая сторона будет лежать напротив наименьшего угла. Используем теорему синусов. $$ \frac{a}{sin \alpha} = \frac{b}{sin \beta} $$ $$ a=\frac{b \cdot sin \alpha}{sin \beta} = \frac{5\sqrt{6} \cdot\sqrt{2}\cdot2}{2\cdot \sqrt{3}} = $$ 5·2 = 10 (cм) Ответ. 10 см.