Дан параллелограмм ABCD, в котором AB=4, AD=6, BD=5. В вершинах этого параллелограмма помещены массы: 3А, 5В, 1С, 5D. Пусть Z1-центр тяжести 3A, 5B, 5D; Z2-центр тяжести 5B, 1C, 5D; Z-центр тяжести 3A, 5B, 1C, 5D.
Найдите:
а)Z1Z2
б)Z1Z

Решение:
Решение: Z1-центр тяжести 3A, 5B, 5D точка О - точка пересечения диагоналей паралелограмма - центр масс точек 5B,5 D по правилу рычага. Значит Z1-центр тяжести 3A, 10O AZ1 :Z1O=10:3 AZ1 :AO=10:13 OZ1:AO=3:13 AZ1:AC=10:26=5:13 причем точка Z1 лежит на отрезке OA
Z2-центр тяжести 5B, 1C, 5D точка О - точка пересечения диагоналей паралелограмма - центр масс точек 5B,5 D по правилу рычага. Значит Z1-центр тяжести 1C, 10O CZ2 :Z2O=10:1 CZ2 :CO=10:11 CZ2:AC=10:22=5:11 причем точка Z2 лежит на отрезке OC
Z-центр тяжести 3A, 5B, 1C, 5D точка О - точка пересечения диагоналей паралелограмма - центр масс точек 5B,5 D по правилу рычага. точка K - центр масс точек 1C,3A, она дежит на отрезке АС, причем АК:КС=1:3 АК:АС=1:4 точка Z - центр тяжести 4K, 10O ZK:ZO=10:4=5:2 ZK:KO=5:7 ZK:AO=5:14 OZ:AO=9:14 ZK:AC=5:28 AZ:AO=12/14=6/7 OZ:AO=1/7
По теореме косинусов cos (ABD)=(-AD^2+AB^2+BD^2)/(2*AB*BD) cos (ABD)=(-6^2+5^2+4^2)/(2*4*5)=5/40=1/8 АО^2=(AB^2+BO^2-2AB*BO*cos(ABD))= =(4^2+2.5^2-2*4*2.5*1/8)=19.75 AC=2AO=2*1/2*корень(79)=корень(79)
Z1Z2=AC-AZ1-CZ2=(1-5/13-5/11)*корень(79)= =23143*корень(79) Z1Z=AO-OZ1-AZ=(1-3/13-1/14)*корень(79)/2=127/364*корень(79)
з.ы.