Точка О является центром правильного двенадцатиугольника А1А2... А12 площадь треугольника А1ОА9 равна 2корня из 3. Найдите площадь треугольника А1А6А7.

Решение:
Треугольник А1ОА9 - равнобедренный с углом при вершине 120о , поэтому при радиусе окружности R  его площадь равна R^2 * sin 120o / 2 = R^2 * корень(3) / 4 В данном случае она составляет  2 * корень(3), поэтому  R^2 / 4 = 2 ,  откуда  R = корень(8) В треугольнике А1А6А7 сторона А1А7 - диаметр окружности, угол при вершине 15о (вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу). Сторону А1А6 находим по теореме косинусов из равнобедренного треугольника, у которого боковая сторона - радиус, а угол при вершине 150о. А1А6^2 = R^2 + R^2 - 2 * R * R * cos 150o = 2 * R^2 - 2 * R^2 * (-корень(3)/2) =  R^2 * (2 + корень(3)) = 8 * (2 + корень(3)) Итак, А1А6 = корень(8 * (2 + корень(3)))           А1А7 = 2 * корень(8) sin 15o = корень ((1 - cos30o)/2) = корень ((1 - корень(3)/2)/2)= корень(2-корень(3))/2
Таким образом, искомая площадь S = A1А6 * А1А7 * sin 15o / 2 = корень(8 * (2 + корень (3))) * 2 * корень(8) * корень (2 - корень(3)) /2 /2 = 8 * 2 / 4 = 4